Exercice
Étudier la fonction suivante : f ( x ) = log 5 ( x + 1 ) f(x) = \log_5(x+1) f ( x ) = log 5 ( x + 1 )
Domaine de définition
x ∈ D f ⟺ x + 1 > 0 ⟺ x > − 1 ⟺ x ∈ ] − 1 , + ∞ [ x \in D_f \iff x+1 > 0 \iff x > -1 \iff x \in \,]-1,+\infty[ x ∈ D f ⟺ x + 1 > 0 ⟺ x > − 1 ⟺ x ∈ ] − 1 , + ∞ [ Donc D f = ] − 1 , + ∞ [ D_f = \,]-1,+\infty[ D f = ] − 1 , + ∞ [
Limites aux bornes de D f D_f D f
lim x → − 1 + f ( x ) = lim x → − 1 + log 5 ( x + 1 ) = lim x → − 1 + ln ( x + 1 ) ln 5 = − ∞ \lim_{x\to-1^+} f(x) = \lim_{x\to-1^+}\log_5(x+1) = \lim_{x\to-1^+}\dfrac{\ln(x+1)}{\ln 5} = -\infty x → − 1 + lim f ( x ) = x → − 1 + lim log 5 ( x + 1 ) = x → − 1 + lim ln 5 ln ( x + 1 ) = − ∞ car lim x → − 1 + ln ( x + 1 ) = − ∞ \displaystyle\lim_{x\to-1^+}\ln(x+1) = -\infty x → − 1 + lim ln ( x + 1 ) = − ∞ lim x → − 1 + ( x + 1 ) = 0 + \lim_{x\to-1^+}(x+1) = 0^+ lim x → − 1 + ( x + 1 ) = 0 + ln 5 > 0 \ln 5 > 0 ln 5 > 0
lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ log 5 ( x + 1 ) = lim x → + ∞ ln ( x + 1 ) ln 5 = + ∞ \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\log_5(x+1) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{\ln 5} = +\infty x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim log 5 ( x + 1 ) = x → + ∞ lim ln 5 ln ( x + 1 ) = + ∞ car lim x → + ∞ ln ( x + 1 ) = + ∞ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x+1) = +\infty x → + ∞ lim ln ( x + 1 ) = + ∞ ln 5 > 0 \ln 5 > 0 ln 5 > 0
Branches infinies
Puisque lim x → − 1 + f ( x ) = − ∞ \displaystyle\lim_{x\to-1^+} f(x) = -\infty x → − 1 + lim f ( x ) = − ∞ ( C f ) (C_f) ( C f ) asymptote verticale : la droite d'équation x = − 1 x = -1 x = − 1
Comme lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞ a = lim x → + ∞ f ( x ) x a = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} a = x → + ∞ lim x f ( x )
lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ ln ( x + 1 ) x ln 5 = lim x → + ∞ ln ( x + 1 ) x + 1 × 1 ln 5 = 0 \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x\ln5} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\times\dfrac{1}{\ln 5} = 0 x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x ln 5 ln ( x + 1 ) = x → + ∞ lim x + 1 ln ( x + 1 ) × ln 5 1 = 0 car lim x → + ∞ ln ( x + 1 ) x + 1 = lim t → + ∞ ln t t = 0 \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1} = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{t} = 0 x → + ∞ lim x + 1 ln ( x + 1 ) = t → + ∞ lim t ln t = 0 t = x + 1 → + ∞ t = x+1 \to +\infty t = x + 1 → + ∞
D'où la courbe ( C f ) (C_f) ( C f ) branche parabolique de direction l'axe des abscisses .
Sens de variation
f ′ ( x ) = ( log 5 ( x + 1 ) ) ′ = ( ln ( x + 1 ) ln 5 ) ′ = 1 ln 5 × ( x + 1 ) ′ x + 1 = 1 ln 5 × 1 x + 1 > 0 car x ∈ ] − 1 , + ∞ [ f'(x) = \big(\log_5(x+1)\big)' = \left(\dfrac{\ln(x+1)}{\ln 5}\right)' = \dfrac{1}{\ln 5}\times\dfrac{(x+1)'}{x+1} = \dfrac{1}{\ln 5}\times\dfrac{1}{x+1} > 0 \quad \text{car } x \in \,]-1,+\infty[ f ′ ( x ) = ( log 5 ( x + 1 ) ) ′ = ( ln 5 ln ( x + 1 ) ) ′ = ln 5 1 × x + 1 ( x + 1 ) ′ = ln 5 1 × x + 1 1 > 0 car x ∈ ] − 1 , + ∞ [ Donc f f f ] − 1 , + ∞ [ ]-1,+\infty[ ] − 1 , + ∞ [
Tableau de variations
Courbe représentative
La courbe ( C f ) (C_f) ( C f ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 4 , 1 ) (4,1) ( 4 , 1 ) x = − 1 x=-1 x = − 1 + ∞ +\infty + ∞
Voir les données de tracé dans assets/graphs/log5-x-plus-1-courbe.json.
