Inéquation guidée avec une base supérieure à $1$

Exercice

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante :

$$\log_{\sqrt{3}}(3x-1) \geq \log_{\sqrt{3}}(x+1)$$

Étape 1 — Domaine de définition.

$$x \in D_{E'} \iff 3x-1 > 0 \text{ et } x+1 > 0$$ $$\iff x > \dfrac{1}{3} \text{ et } x > -1$$ $$\iff x > \dfrac{1}{3}$$ $$\iff x \in \left]\dfrac{1}{3}, +\infty\right[$$

Donc $D_{E'} = \left]\dfrac{1}{3}, +\infty\right[$.

Étape 2 — Résolution dans $D_{E'}$.

Comme $a = \sqrt{3} > 1$, le logarithme de base $a$ est strictement croissant, donc l'inégalité se transporte directement sur les arguments :

$$\log_{\sqrt3}(3x-1) \geq \log_{\sqrt3}(x+1) \iff 3x-1 \geq x+1 \quad (\text{car } a = \sqrt3 > 1)$$ $$\iff 2x \geq 2 \iff x \geq 1 \iff x \in [1,+\infty[$$

Conclusion : l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

$$S = D_{E'} \cap [1,+\infty[ \; = \; \left]\dfrac{1}{3},+\infty\right[ \cap [1,+\infty[ \; = \; [1,+\infty[$$