Changer de base et inverser les rôles

Théorème

Montrer que :

$$\forall a,b \in \,]1,+\infty[ \; ; \qquad \log_b(a) = \dfrac{1}{\log_a(b)}$$

Démonstration.

$$\dfrac{1}{\log_a(b)} = \dfrac{1}{\dfrac{\ln b}{\ln a}} = \dfrac{\ln a}{\ln b} = \log_b(a)$$

Conclusion :

$$\forall a,b \in \,]1,+\infty[ \; ; \qquad \log_b(a) = \dfrac{1}{\log_a(b)}$$

La formule de changement de base est plus générale :

$$\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$$

pour $a,b>0$, $a\neq1$, $b\neq1$ et $x>0$.