Exemple : lire l’angle et le centre

Application

On considère la transformation $f$ qui associe à tout point $M(z)$ de $(P)$ d'affixe $z$ le point $M'(z')$ de $(P)$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = -iz+1-i$

Nature de la transformation $f$ :

On a $z' = -iz+1-i = e^{i\pi/2\times(-1)}\,z + (1-i)$, plus précisément $-i = e^{-i\pi/2}$, donc : $z' = e^{-i\pi/2}z + (1-i)$

L'écriture complexe de $f$ est de la forme $z' = ze^{i\theta}+b$, d'où $f$ est une rotation :

• de centre $\displaystyle \omega = \frac{b}{1-a} = \frac{1-i}{1+i} = -i$, d'où le centre est le point $\Omega_{(-i)}$.
• d'angle : $\arg(e^{i\theta}) \equiv \arg(-i) \equiv -\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.

Conclusion : la transformation $f$ est une rotation $r\left(\Omega_{(-i)},-\dfrac{\pi}{2}\right)$ de centre le point de coordonnées $(0,-1)$.