Le théorème des trois cas

Théorème

Équation du 2ᵉ degré de la forme $z \in \mathbb{C}\ /\ az^2+bz+c=0$ ; $a\in\mathbb{R}^*$, $b\in\mathbb{R}$ et $c\in\mathbb{R}$, et $\Delta = b^2-4ac$, a pour solutions :

• 1er cas $\Delta = 0$ : l'équation a une solution double $z = -\dfrac{b}{2a}$.

• 2ᵉ cas $\Delta > 0$ : l'équation a deux solutions réelles : $z_1 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\ ;\quad z_2 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$

• 3ᵉ cas $\Delta < 0$ : l'équation a deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ ;\quad z_2 = \bar z_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Dans le cas $\Delta<0$, écris

$$\Delta=-d^2\quad(d>0),\qquad \sqrt{\Delta}=id.$$

Puis utilise exactement la formule habituelle.