Pourquoi la formule du second degré fonctionne encore

Démonstration

On a : $az^2+bz+c = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right] = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$

D'où : $az^2+bz+c=0 \iff a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=0 \iff \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0\ \ (a\neq0)$

$\iff \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \qquad (1)$

1er cas $\Delta = 0$ : $(1) \iff \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0 \iff z=-\dfrac{b}{2a}$, donc l'équation a une solution double $z=-\dfrac{b}{2a}$.

2ᵉ cas $\Delta > 0$ : On a $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, donc l'équation a deux solutions réelles : $z_1 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\ ;\quad z_2 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$

3ᵉ cas $\Delta < 0$ : Donc $-\Delta > 0$, par suite : $\Delta = -1\times(-\Delta) = i^2(\sqrt{-\Delta})^2 = (i\sqrt{-\Delta})^2$

D'où : $(1) \iff \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{(i\sqrt{-\Delta})^2}{4a^2} = \left(\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$

$\iff z+\frac{b}{2a}=\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ \text{ ou }\ z+\frac{b}{2a}=-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

$\iff z = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ \text{ ou }\ z=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Conclusion : l'équation a deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\ ;\quad z_2 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$