Construire les solutions de $z^2=a$

Écris $z=x+iy$. Alors

$$z^2=(x^2-y^2)+2xy\,i.$$

L’égalité de deux complexes permet ensuite de comparer séparément les parties réelle et imaginaire.

Activité

1. Résoudre les équations suivantes :

   • $z \in \mathbb{C}\ /\ z^2 = 0$
   • $z \in \mathbb{C}\ /\ z^2 = 2$
   • $z \in \mathbb{C}\ /\ z^2 = -2$

2. Donner la propriété générale correspondante.

Piste : pour $z^2=-2$, écris $-2 = (i\sqrt2)^2$ pour faire apparaître deux solutions imaginaires opposées.