Exercice complet : différence de deux carrés de logarithmes

Exercice

Simplifier :

$$\ln^2(3-\sqrt{2}) - \ln^2(3+\sqrt{2})$$

Solution. On utilise l'identité $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ avec $a = \ln(3-\sqrt2)$ et $b = \ln(3+\sqrt2)$ :

$$= \big(\ln(3-\sqrt2) + \ln(3+\sqrt2)\big) \times \big(\ln(3-\sqrt2) - \ln(3+\sqrt2)\big)$$ $$= \ln\big[(3-\sqrt2)(3+\sqrt2)\big] \times \ln\left(\dfrac{3-\sqrt2}{3+\sqrt2}\right)$$ $$= \ln(9-2) \times \ln\dfrac{(3-\sqrt2)(3-\sqrt2)}{9-2}$$ $$= \ln 7 \times \ln\dfrac{9 - 6\sqrt2 + 2}{7} = \ln 7 \times \ln\dfrac{11-6\sqrt2}{7} \quad (\text{on ne peut pas simplifier davantage})$$

Conclusion :

$$\ln^2(3-\sqrt2) - \ln^2(3+\sqrt2) = \ln 7 \times \ln\dfrac{11-6\sqrt2}{7}$$