Pourquoi inverse et quotient fonctionnent

Démonstration

Pour la 2ème propriété : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$

On a :

$$0 = \ln 1 \iff 0 = \ln\dfrac{a}{a} \iff 0 = \ln\left(a \times \dfrac{1}{a}\right)$$ $$\iff 0 = \ln a + \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) \quad (\text{propriété n°1})$$ $$\iff -\ln a = \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$$

Conclusion : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$

Pour la 3ème propriété : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

$$\ln \dfrac{a}{b} = \ln\left(a \times \dfrac{1}{b}\right) = \ln a + \ln\dfrac{1}{b} = \ln a - \ln b \quad (\text{propriété n°2})$$

Conclusion : $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$