Application 1 : fabriquer $\ln t/t$

Application

Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{x}$.

Solution.

$$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{x+2}\times\dfrac{x+2}{x} = 0$$

car :

• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{x+2} = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{t} = 0$ (avec $t = x+2$ et $x\to+\infty \Rightarrow t\to+\infty$).
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+2}{x} = 1$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{x} = 0$