Preuve de la caractérisation du diamètre

On introduit le milieu $I$ de $[AB]$. Les relations $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec0$ et $IA=IB$ font apparaître l’équation $MI=IA$.

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ (centre de la sphere $(S)$). On a : $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\iff (\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}+\vec{IB})=0$ $\iff \vec{MI}^{\,2}+\vec{MI}\cdot\vec{IB}+\vec{IA}\cdot\vec{MI}+\vec{IA}\cdot\vec{IB}=0$ $\iff MI^{2}+\vec{MI}\cdot(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IA}\cdot(-\vec{IA})=0$

Or $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$ et $\vec{IB}=-\vec{IA}$ : $\iff MI^{2}+\vec{MI}\cdot\vec{0}-IA^{2}=0\iff MI^{2}=IA^{2}\iff MI=IA\iff M\in S_{(I,\,r=IA)}$

Conclusion. L'ensemble des points $M(x,y,z)$ verifiant $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est la sphere $(S)$ de centre $I$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $r=IA=\dfrac{AB}{2}$ : c'est la sphere $S_{[AB]}$ de diametre $[AB]$.