Discussion complète d’une équation développée

Après complétion des carrés, le membre de droite peut être négatif, nul ou positif. Ces trois cas doivent tous être distingués.

L'ensemble $(E)$ des points $M(x,y,z)$ de l'espace $(\mathcal{E})$ tels que $x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0\qquad (a,b,c,d\in\mathbb{R})$ se discute en posant $A=a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d$ :

• Si $A<0$ : $\ (E)=\varnothing$.

• Si $A=0$ : $\ (E)=\left\{\ \Omega\!\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2},-\dfrac{c}{2}\right)\ \right\}$ (un seul point).

• Si $A>0$ : $(E)$ est la sphere $(E)=S\!\left(\Omega\!\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2}\right),\ R=\frac{\sqrt{A}}{2}\right)$