Équation guidée : le domaine élimine la fausse solution

Exercice

Résoudre l'équation $(E) : \ln(2x) - \ln(x-1) = 0$.

Étape 1 — Domaine de définition $D_E$.

$$x \in D_E \iff 2x > 0 \text{ et } x-1 > 0 \iff x > 0 \text{ et } x > 1 \iff x > 1$$

Conclusion 1 : $D_E = \,]1,+\infty[$.

Étape 2 — Résolution dans $D_E$.

$$\ln(2x) - \ln(x-1) = 0 \iff \ln(2x) = \ln(x-1)$$ $$\iff 2x = x - 1 \iff x = -1 \notin D_E$$

Conclusion 2 : l'équation $(E)$ n'a pas de solution, donc $S = \varnothing$.