Comparer deux intégrales sans les calculer

La méthode comporte deux étapes :

1. comparer les intégrandes pour tout $x$ du segment ;
2. intégrer l’inégalité dans le même ordre.

Exemple 2

Montrer que : $\displaystyle \int_2^5 \ln(x+1)\,dx \le \int_2^5 \ln(x+3)\,dx$.

Pour tout $x \in [2,5]$ :

$1 \le 3 \;\Rightarrow\; x + 1 \le x + 3$

La fonction $\ln$ étant croissante sur $]0,+\infty[$ :

$\ln(x+1) \le \ln(x+3)$

Par la relation d'ordre (croissance de l'intégrale) :

$\int_2^5 \ln(x+1)\,dx \le \int_2^5 \ln(x+3)\,dx$

Conclusion : l'inégalité est démontrée.