Exemple complet de linéarité : cos²x et sin²x

L’idée est d’éviter le calcul direct de deux intégrales compliquées. On calcule leur somme et leur différence grâce aux identités trigonométriques, puis on résout le système obtenu.

Exemple 1

On pose :

\qquad\text{et}\qquad B = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x)\,dx$$ **1. Calcul de $A + B$ et $A - B$.** $$A + B = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \big(\cos^2 x + \sin^2 x\big)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1\,dx = 1\cdot\left(\tfrac{\pi}{2} - 0\right) = \tfrac{\pi}{2}$$ $$A - B = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \big(\cos^2 x - \sin^2 x\big)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \tfrac{1}{2}\big(\sin\pi - \sin 0\big) = 0$$ **2. On en déduit $A$ et $B$.** $$\left.\begin{aligned} A + B &= \tfrac{\pi}{2} \\ A - B &= 0 \end{aligned}\right\} \;\Rightarrow\; A = B = \tfrac{\pi}{4}$$ **Conclusion :** $\displaystyle A = B = \frac{\pi}{4}$.