Théorème : positivité et relation d’ordre

Relation d'ordre

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ avec $a \le b$.

Positivité. Si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a,b]$, alors :

$\int_a^b f(x)\,dx \ge 0$

Croissance (comparaison). Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a,b]$, alors :

$\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$

Cette propriété permet de comparer deux intégrales sans les calculer.

La condition $a\leq b$ est indispensable dans ces énoncés. Si l’on inverse les bornes, le signe de l’intégrale change.