Exercice : x sin(3/x) et le théorème des gendarmes

Étudions la continuité en $0$ de :

$$f(x)= \begin{cases} x\sin\left(\dfrac3x\right),&x\neq0,\\ 0,&x=0. \end{cases}$$

Comme $|\sin u|\le1$ :

$$\left|x\sin\left(\frac3x\right)\right|\le|x|.$$

Donc :

$$-|x| \le x\sin\left(\frac3x\right) \le |x|.$$

Les deux bornes tendent vers $0$. Par le théorème des gendarmes :

$$\lim_{x\to0}x\sin\left(\frac3x\right)=0=f(0).$$

Ainsi $f$ est continue en $0$.

Leçon. L'intérieur du sinus oscille, mais le facteur $x$ écrase l'oscillation.