Pourquoi séparer les deux côtés ?

Une fonction définie par morceaux peut suivre une formule avant $a$ et une autre après $a$. Elle peut donc bien se raccorder d'un côté et manquer le point de l'autre.

Pour le grand exemple en $x_0=2$, on obtient :

$$\lim_{x\to2^-}f(x)=\frac19=f(2),$$

mais la limite à droite ne coïncide pas avec $\frac19$.

Diagnostic. La fonction est continue à gauche de $2$, mais pas continue à droite. Elle n'est donc pas continue en $2$.

Cette distinction est aussi indispensable aux extrémités d'un intervalle : sur $[a,b]$, on ne peut approcher $a$ que par la droite et $b$ que par la gauche.