Activité : un raccord réussi en x=1

Soit :

$$f(x)= \begin{cases} x^2+2x,&x<1,\\ -x^2+4x,&x\ge1. \end{cases}$$

On a $f(1)=-1+4=3$.

À gauche :

$$\lim_{x\to1^-}(x^2+2x)=3.$$

À droite :

$$\lim_{x\to1^+}(-x^2+4x)=3.$$

Les deux limites valent $3=f(1)$. Donc $f$ est continue en $1$.

Pourquoi le calcul est simple ? Les deux expressions sont polynomiales : on peut les évaluer par substitution sur leur côté respectif.