Série d’entraînement : sept modules

Énoncé

Calculer les modules des nombres complexes suivants :

$z_1 = -5+3i \qquad z_2 = 4i(-2+3i) \qquad z_3 = 1+i\sqrt3 \qquad z_4 = 5+i5\sqrt3$

$z_5 = \frac{7}{1-i\sqrt3} \qquad z_6 = \frac{4(1+i)}{2i(-5-i5\sqrt3)} \qquad z_7 = \frac{4(1+i)^2}{2i(-5-i5\sqrt3)^6}$

Méthode

• Pour un produit ou une puissance, utilise $|z\times z'| = |z|\times|z'|$ et $|z^p| = |z|^p$ pour éviter de développer.
• Pour un quotient, utilise $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.
• Calcule d'abord $|1-i\sqrt3|$, $|-5-i5\sqrt3|$, $|4i|$, $|2i|$, $|1+i|$ séparément, puis combine.

Correction complète

$$|z_1|=\sqrt{(-5)^2+3^2}=\boxed{\sqrt{34}},$$ $$|z_2|=|4i|\,|-2+3i|=4\sqrt{13},$$ $$|z_3|=2,\qquad |z_4|=10,$$ $$|z_5|=\frac7{|1-i\sqrt3|}=\boxed{\frac72},$$ $$|z_6| =\frac{4|1+i|}{|2i|\,|-5-5i\sqrt3|} =\frac{4\sqrt2}{2\times10} =\boxed{\frac{\sqrt2}{5}},$$ $$|z_7| =\frac{4|1+i|^2}{|2i|\,|-5-5i\sqrt3|^6} =\frac{4\times2}{2\times10^6} =\boxed{\frac1{250\,000}}.$$