De $z\bar z$ à la distance $OM$

Pour $z=x+yi$, le produit avec le conjugué élimine $i$ :

$$z\bar z=(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2.$$

Or $x^2+y^2$ est précisément le carré de la distance de $M(x,y)$ à l’origine.

Activité

$M(z=x+yi)$ est un point du plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$.

1. Calculer $z\times\bar z$.
2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dans le repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$.
3. Calculer $\lVert\overrightarrow{OM}\rVert$. Que peut-on déduire ?

Piste : $z\bar z = x^2+y^2$ et $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $(x,y)$, donc $\lVert\overrightarrow{OM}\rVert = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}$.