Vérification finale : base, limite et dérivée

Soit

$$f(x)=\left(\frac13\right)^{x^2}.$$

1. Écrire $f$ avec la base $e$.
2. Calculer $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'$.
4. Calculer les limites en $\pm\infty$.

Correction

$$f(x)=e^{x^2\ln(1/3)}.$$

Puis

$$f'(x)=2x\ln\left(\frac13\right) \left(\frac13\right)^{x^2}.$$

Comme $\ln(1/3)<0$, la dérivée est positive pour $x<0$, nulle en $0$ et négative pour $x>0$. Enfin $x^2\to+\infty$ aux deux infinis, donc

$$x^2\ln\left(\frac13\right)\to-\infty$$

et

$$\lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}f(x) =0.$$