Théorème : aˣ=e puissance x ln(a)

Nouvelle notation

Pour $a\in]0,1[\cup]1,+\infty[$, la fonction réciproque de $\log_a$ vérifie

$$\begin{aligned} \exp_a(x)=y &\Longleftrightarrow \log_a(y)=x\\ &\Longleftrightarrow \frac{\ln y}{\ln a}=x\\ &\Longleftrightarrow \ln y=x\ln a\\ &\Longleftrightarrow y=e^{x\ln a}. \end{aligned}$$

Pour un exposant rationnel $r$, cette valeur coïncide avec la puissance habituelle :

$$\exp_a(r)=e^{r\ln a}=e^{\ln(a^r)}=a^r.$$

On utilise donc, pour tout réel $x$, la notation

$$\boxed{a^x=e^{x\ln a}}.$$

Cette formule ramène limites, dérivées et variations de $a^x$ à celles de $e^x$.