Construire l’exponentielle de base a

Définition

Soit $a \in \; ]0,1[ \, \cup \, ]1,+\infty[$.

La fonction définie par :

$$\forall x > 0, \quad \log_a(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$$

est continue et strictement monotone sur $]0, +\infty[$, donc elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$, appelée fonction exponentielle de base $a$, définie par :

$$f^{-1} : \mathbb{R} \to \; ]0, +\infty[, \qquad x \mapsto f^{-1}(x) = \exp_a(x)$$

📌 À retenir Cette construction est exactement la même démarche que pour la fonction exponentielle népérienne, mais en partant du logarithme de base $a$ ($\log_a$) au lieu du logarithme népérien ($\ln$).

Les deux cas sont importants :

$$a>1\Longrightarrow\ln a>0,$$ $$0<a<1\Longrightarrow\ln a<0.$$

Le cas $a=1$ est écarté car $1^x=1$ est une fonction constante et $\log_1$ n’existe pas.