Exemple : aire d’une fonction qui change de signe

Calculons l’aire entre la courbe de

$$f(x)=x-1$$

et l’axe des abscisses sur $[0,3]$.

La racine est $x=1$. La fonction est négative sur $[0,1]$ et positive sur $[1,3]$. Donc

$$\mathcal A =-\int_0^1(x-1)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx.$$

Ainsi,

$$\mathcal A =-\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^1 +\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^3 =\frac12+2 =\boxed{\frac52\ \text{u.a.}}.$$