Exemple guidé : aire sous la parabole y=x²

La fonction $x^2$ est positive sur $[0,1]$. Il n’est donc pas nécessaire de découper l’intervalle ni d’ajouter une valeur absolue.

Exercice

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ tel que $\|\vec i\| = \|\vec j\| = 1\,\text{cm}$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre la courbe de $f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 1$.

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Correction

Sur $[0,1]$, $f(x) = x^2 \ge 0$, donc :

$\mathcal{A} = \int_0^1 x^2\,dx = \left[\tfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \tfrac{1}{3}$

Conclusion : $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{1}{3}\ \text{u.a} = \frac{1}{3}\ \text{cm}^2$.