Trois cas selon le signe de f

Cas 1 — $f$ est positive sur $[a,b]$

Si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses :

$$\mathcal A =\int_a^bf(x)\,dx\times\|\vec i\|\,\|\vec j\|.$$

Cas 2 — $f$ est négative sur $[a,b]$

Si la courbe est au-dessous de l’axe :

$$\mathcal A =-\int_a^bf(x)\,dx\times\|\vec i\|\,\|\vec j\|.$$

Cas 3 — $f$ change de signe

Supposons $f\leq0$ sur $[a,c]$ et $f\geq0$ sur $[c,b]$. Alors

$$\mathcal A =\left( -\int_a^cf(x)\,dx +\int_c^bf(x)\,dx \right)\times\|\vec i\|\,\|\vec j\|.$$

De façon générale :

$$\boxed{\mathcal A =\int_a^b|f(x)|\,dx\times\|\vec i\|\,\|\vec j\|}.$$