Intégration par parties répétée

Calculons

$$I=\int_0^1x^2e^x\,dx.$$

Une première intégration par parties avec $u=x^2$ et $v'=e^x$ donne

$$I=[x^2e^x]_0^1-\int_0^12xe^x\,dx =e-2\int_0^1xe^x\,dx.$$

Or l’exemple précédent donne

$$\int_0^1xe^x\,dx=1.$$

Donc

$$\boxed{I=e-2}.$$

Pour un facteur polynomial, chaque dérivation diminue son degré. On peut donc répéter la méthode jusqu’à obtenir une intégrale immédiate.