Origine de la formule : dériver un produit

Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ :

$$(uv)'=u'v+uv'.$$

On isole le produit $uv'$ :

$$uv'=(uv)'-u'v.$$

Puis on intègre entre $a$ et $b$ :

$$\int_a^buv'\,dx =\int_a^b(uv)'\,dx-\int_a^bu'v\,dx.$$

Comme l’intégrale d’une dérivée vaut la différence des valeurs aux bornes,

$$\int_a^b(uv)'\,dx=[uv]_a^b.$$

On obtient ainsi la formule d’intégration par parties.