Exercice 5 : synthèse complète

Soit

$$u_n=\frac{2^n}{3^n}+\frac{n}{n+1}.$$

1. Calcule les trois premiers termes.
2. Détermine séparément la limite de chaque morceau.
3. Déduis la limite de $(u_n)$.
4. Montre que $u_n>0$.
5. La suite est-elle nécessairement monotone parce qu'elle converge ?

Réponse conceptuelle à 5. Non. La convergence seule ne garantit pas la monotonie ; il faut étudier $u_{n+1}-u_n$.