Exercice 4 : récurrence guidée

On pose

$$u_0=0,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n+4}{3}.$$

1. Montre par récurrence que $0\leq u_n\leq2$.
2. Montre que $\displaystyle u_{n+1}-u_n=\frac{4-2u_n}{3}\geq0$.
3. Déduis la convergence.
4. Détermine la limite.
5. Pose $v_n=u_n-2$ et montre que $(v_n)$ est géométrique.

Les deux méthodes doivent conduire à $\ell=2$.