Exemple guidé : une suite rationnelle

Soit $\displaystyle u_n=\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac1{n+1}$.

Borne. Comme $\dfrac1{n+1}>0$, $u_n<2$.

Monotonie.

$$u_{n+1}-u_n =\frac1{n+1}-\frac1{n+2} =\frac1{(n+1)(n+2)}>0.$$

La suite est croissante et majorée par $2$, donc convergente.

La forme explicite donne ensuite

$$\lim_{n\to+\infty}u_n=2.$$