Critère : suite monotone et bornée ⇒ convergente

Propriété

• Toute suite croissante et majorée est une suite convergente.
• Toute suite décroissante et minorée est une suite convergente.

Exemple

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $\displaystyle u_n = \frac{1}{n^3} + 7$, $n \geq 1$.

1. Montrer que $(u_n)$ est minorée.

   On a : $n \geq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow \left(\dfrac{1}{n}\right)^3 > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n^3} + 7 > 7 \Rightarrow \dfrac{1}{n^3} + 7 > 0 \Rightarrow u_n > 0$.

   Par suite : $(u_n)$ est minorée par $0$ (zéro).

2. Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

   On a : $n + 1 \geq n \Rightarrow (n+1)^3 \geq n^3 \Rightarrow \dfrac{1}{(n+1)^3} \leq \dfrac{1}{n^3} \Rightarrow u_{n+1} \leq u_n$.

   Donc : $(u_n)$ est décroissante.

3. En déduire la convergence de $(u_n)$.

   La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, donc d'après la propriété ci-dessus, la suite $(u_n)$ est convergente.