La carte d’identité polaire de $z$

Définition et propriété

Soit $z = x+yi$ un nombre complexe non nul tel que $\arg(z)\equiv\alpha\ [2\pi]$ et $r = |z|$.

Le nombre complexe non nul $z$ s'écrit sous la forme : $z = |z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \quad\text{ou}\quad z = \sqrt{x^2+y^2}(\cos\alpha+i\sin\alpha) \quad\text{ou}\quad z = [\,|z|,\arg(z)\,] = [r,\alpha]$

Chacune de ces écritures est appelée la forme (ou écriture) trigonométrique du nombre complexe non nul $z = x+yi$.

Dans $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, vérifie toujours :

$$r>0,\qquad r=|z|,\qquad \theta=\arg(z)\pmod{2\pi}.$$

Le nombre $0$ n’a ni argument ni forme trigonométrique de cette manière.