Reconstruire $z$ à partir d’une longueur et d’un angle

On connaît déjà $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$. En remplaçant dans $z=x+iy$, la forme trigonométrique apparaît naturellement.

Activité

Le plan complexe $(P)$ est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$.

• On considère un nombre complexe non nul $z$ et le point $M$ d'affixe $z$ (donc $M\neq O$).
• On pose $\arg(z) \equiv (\vec\imath,\overrightarrow{OM}) \equiv \alpha\ [2\pi]$.
• $(\mathcal C)$, le cercle trigonométrique lié au repère $(O,\vec u,\vec v)$, coupe la demi-droite $[O,M)$ au point $M_0$ de coordonnées $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ : l'affixe de $M_0$ est $z_0 = \cos\alpha+i\sin\alpha$.
• Les points $O$, $M$, $M_0$ sont alignés et $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{OM_0}$ ont même sens, d'où $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OM_0}$ avec $k>0$ (car $M\neq O$).
• L'affixe du vecteur $\overrightarrow{OM}$ est $z = x+yi$, celle de $\overrightarrow{OM_0}$ est $z_0 = \cos\alpha+i\sin\alpha$.
• Puisque $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OM_0}$ avec $k>0$, donc $z = kz_0 \iff x+yi = k(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ … (1)
• On détermine $k$ : $z = kz_0 \Rightarrow |z| = |k||z_0| \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = |k| = k$, d'où (2) : $k = \sqrt{x^2+y^2}$.
• D'après (1) et (2), on obtient la relation : $z = x+yi = \sqrt{x^2+y^2}(\cos\alpha+i\sin\alpha) = |z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$