Les propriétés du conjugué, classées par usage

Ne mémorise pas une liste plate :

• $z+\bar z$ extrait la partie réelle ;
• $z-\bar z$ extrait la partie imaginaire ;
• $z\bar z$ produit un réel positif ;
• le conjugué traverse les sommes, produits, quotients et puissances.

Propriétés

Soient $z = x+yi$ et $z' = x'+y'i$ de $\mathbb{C}$, avec $x,y,x',y' \in \mathbb{R}$. On a :

$z + \bar z = 2x = 2\,\mathrm{Re}(z) \qquad\qquad z - \bar z = 2yi = 2\,\mathrm{Im}(z)\,i$

$\overline{\bar z} = z \qquad\qquad z\times\bar z = x^2+y^2$

$\overline{z+z'} = \bar z + \overline{z'} \qquad\qquad \overline{z\times z'} = \bar z \times \overline{z'}$

$\overline{\left(\frac{1}{z'}\right)} = \frac{1}{\overline{z'}} \ (z'\neq 0) \qquad\qquad \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar z}{\overline{z'}} \ (z'\neq 0)$

$\overline{z^p} = (\bar z)^p, \quad p \in \mathbb{Z} \text{ (avec } z\neq 0 \text{ si } p \in \mathbb{Z}^- \text{)}$