Exercice corrigé : vecteur, milieu et alignement

On considère

$$z_A=2+i,\qquad z_B=-2+i,\qquad z_C=5+i.$$

1. Affixe de $\overrightarrow{AB}$

$$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-2+i)-(2+i)=\boxed{-4}.$$

2. Affixe du milieu $I$ de $[AB]$

$$z_I=\frac{z_A+z_B}{2} =\frac{(2+i)+(-2+i)}2 =\boxed{i}.$$

3. Alignement

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} =\frac{(5+i)-(2+i)}{-4} =-\frac34\in\mathbb R.$$

Donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés. Plus précisément,

$$\overrightarrow{AC}=-\frac34\,\overrightarrow{AB}.$$

Le paquet source écrivait $z_C=5+xi$ sans donner $x$. La valeur cohérente $z_C=5+i$ est utilisée ici pour fournir un exercice entièrement résolu.