Rendre un dénominateur complexe réel

On ne veut pas laisser $i$ au dénominateur. Le conjugué fournit la clé :

$$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,$$

qui est réel et strictement positif si $a+bi\neq0$.

L’inverse de $z'=x'+y'i\neq0$

On multiplie en haut et en bas par le conjugué $\overline{z'}=x'-y'i$ :

$$\begin{aligned} \frac{1}{z'} &=\frac{1}{x'+y'i} \\[8pt] &=\frac{x'-y'i}{(x'+y'i)(x'-y'i)} \\[8pt] &=\frac{x'-y'i}{x'^2+y'^2} \\[8pt] &=\frac{x'}{x'^2+y'^2} -\frac{y'}{x'^2+y'^2}i. \end{aligned}$$

Chaque ligne réalise un seul geste : introduire le conjugué, rendre le dénominateur réel, puis séparer partie réelle et partie imaginaire.

Le quotient de $z=x+yi$ par $z'$

Le même mécanisme donne :

$$\begin{aligned} \frac{z}{z'} &=\frac{z\overline{z'}}{z'\overline{z'}} \\[8pt] &=\frac{(x+yi)(x'-y'i)}{x'^2+y'^2} \\[8pt] &=\frac{xx'+yy'}{x'^2+y'^2} +\frac{yx'-xy'}{x'^2+y'^2}i. \end{aligned}$$

On multiplie toujours numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rendre celui-ci réel.

La recette du quotient

1. Repère le dénominateur $c+di$.
2. Multiplie en haut et en bas par $c-di$.
3. Calcule le dénominateur $c^2+d^2$.
4. Développe le numérateur.
5. Range le résultat sous la forme $A+Bi$.