Définition et repères du nombre $e$

Le nombre $e$

• La fonction $f(x) = \ln x$ est continue sur $]0,+\infty[$.
• La fonction $f(x) = \ln x$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.

Donc $f(]0,+\infty[) = \mathbb{R}$, donc l'équation $x \in \,]0,+\infty[\,; f(x) = 1$ admet une solution et une seule. On note ce nombre unique par $e \approx 2{,}718$ (valeur approchée), qui est un nombre irrationnel.

Conclusion :

$$\ln e = 1, \qquad \ln\dfrac{1}{e} = -1, \qquad \ln(e^r) = r \;\; (r \in \mathbb{Q})$$