TableauCarte 2 sur 90% de la partie

Étude complète : relier chaque calcul au graphique

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Étude de la fonction $f(x) = \ln x$

Domaine de définition : $D_f = \,]0,+\infty[$ .
Continuité : $f$ est continue sur $D_f = \,]0,+\infty[$ .
Limites :
- $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x) = -\infty$ . Donc la courbe $(C_f)$ de $f$ admet une asymptote verticale, la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées).
- $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x) = +\infty$ . Donc la courbe $(C_f)$ de $f$ admet une branche parabolique, qu'on détermine : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ donc $a = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 0$ . Donc la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Sens de variation :
- La fonction dérivée de $f$ est : $f'(x) = (\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0$
- La fonction est strictement croissante sur $D_f = \,]0,+\infty[$

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'$		$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Étude de la fonction

f(x) = \ln x

Domaine de définition :

D_f = \,]0,+\infty[

Continuité :

f

est continue sur

D_f = \,]0,+\infty[

Limites :

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x) = -\infty$ . Donc la courbe $(C_f)$ de $f$ admet une asymptote verticale, la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées).
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x) = +\infty$ . Donc la courbe $(C_f)$ de $f$ admet une branche parabolique, qu'on détermine : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ donc $a = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 0$ . Donc la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

Sens de variation :

Tableau de variations de

f

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'$		$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$