Vérification des acquis : dérivée, signe et primitive

Soit

$$f(x)=e^{x^2-4x}.$$

1. Calculer $f'(x)$.
2. Étudier son signe.
3. En déduire les variations de $f$.
4. Donner une primitive de $g(x)=(2x-4)e^{x^2-4x}$.

Correction

$$f'(x)=(2x-4)e^{x^2-4x}.$$

Comme le facteur exponentiel est positif, $f'$ a le signe de $2x-4$ :

$$f'(x)<0\ (x<2), \qquad f'(2)=0, \qquad f'(x)>0\ (x>2).$$

Donc $f$ décroît sur $]-\infty,2]$, puis croît sur $[2,+\infty[$. Enfin, une primitive de $g$ est

$$G(x)=e^{x^2-4x}+C.$$