Pourquoi la dérivée vaut encore eˣ

La preuve utilise la dérivée d’une fonction réciproque. Lis-la comme une chaîne de remplacements ; le résultat à retenir pour les calculs reste $(e^x)'=e^x$.

Preuve

On pose $f(x) = \ln(x)$ et $f^{-1}(x) = \exp(x)$.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa fonction dérivée est $f'(x) = \dfrac{1}{x}$, qui ne s'annule pas sur $]0, +\infty[$.

Donc sa fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable sur $f(]0,+\infty[) = \mathbb{R}$, et :

$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad \left(e^x\right)' = \left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}(x)} = \dfrac{1}{f'(e^x)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{e^x}} = e^x$$

Conclusion.

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \left(e^x\right)' = e^x$$

✅ Théorème utilisé Si $f$ est dérivable et strictement monotone sur $I$ avec $f'$ ne s'annulant pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $\left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}(x)}$.