Propriété caractéristique : la dérivée de eˣ

Pour une puissance, la dérivation change la forme :

$$(x^3)'=3x^2.$$

Pour le sinus, elle change aussi la fonction :

$$(\sin x)'=\cos x.$$

L’exponentielle possède une propriété exceptionnelle :

$$(e^x)'=e^x.$$

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $x$ est donc $e^x$, qui est aussi l’ordonnée du point de la courbe.

Cette identité explique pourquoi l’exponentielle modélise naturellement une quantité dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa taille.