Le signe de la dérivée vient de u′

Si

$$f(x)=e^{u(x)},$$

alors

$$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}.$$

Comme $e^{u(x)}>0$, le facteur exponentiel ne change jamais le signe :

$$\operatorname{sgn}(f'(x)) =\operatorname{sgn}(u'(x)).$$

Ainsi $e^{u(x)}$ varie dans le même sens que $u(x)$.

Pour dresser un tableau de variation, étudie donc $u'(x)$, pas l’exponentielle elle-même.