Pourquoi les exposants s’additionnent

Le logarithme transforme un produit en somme :

$$\ln(AB)=\ln A+\ln B.$$

Appliquons cette idée à $A=e^a$ et $B=e^b$ :

$$\ln(e^ae^b)=a+b.$$

L’unique nombre positif dont le logarithme vaut $a+b$ est $e^{a+b}$. Donc

$$e^ae^b=e^{a+b}.$$

La règle n’est pas une formule isolée : elle traduit le lien inverse entre logarithme et exponentielle.