Démontrer la règle du produit avec ln

Preuve de $e^{a+b} = e^a \times e^b$

On pose : $A = e^{a+b}$ et $B = e^a \times e^b$.

Étape 1. On a :

$$A = e^{a+b} \iff \ln(A) = \ln\left(e^{a+b}\right) \iff \ln(A) = a + b \quad (1)$$

Étape 2. Et :

$$B = e^a \times e^b \iff \ln(B) = \ln\left(e^a \times e^b\right) \iff \ln(B) = \ln(e^a) + \ln(e^b) \iff \ln(B) = a + b \quad (2)$$

Conclusion. D'après $(1)$ et $(2)$, on obtient $\ln(A) = \ln(B)$, donc $A = B$, c'est-à-dire :

$$\boxed{e^{a+b} = e^a \times e^b}$$

🔑 Idée clé La stratégie est toujours la même pour prouver une identité sur $e^{\cdot}$ : on passe au logarithme des deux côtés, on utilise les propriétés de $\ln$ (notamment $\ln(e^t) = t$), puis on conclut par l'injectivité de $\ln$ (ou de $\exp$) : si $\ln(A) = \ln(B)$ alors $A = B$.