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Lois algébriques de la fonction exponentielle

#proprietes#algebre#calcul

Construit sur :Pourquoi les exposants s’additionnent

Pour chaque ligne du tableau, observe l’opération entre les exponentielles : produit, quotient, puissance ou racine. C’est elle qui détermine la règle.

Propriétés algébriques

Soient $a$ , $b$ , $x \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{Q}$ . On a :

Propriété	Exemple
$e^{a+b} = e^a \times e^b$	$e^7 = e^4 \times e^3$
$e^{-b} = \dfrac{1}{e^b}$	$e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$
$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$	$e^5 = \dfrac{e^7}{e^2}$
$\left(e^x\right)^r = e^{rx}, \; (r \in \mathbb{Q})$	$\left(e^x\right)^3 = e^{3x}$
$\sqrt{e^x} = e^{\frac{1}{2}x}$	$\sqrt{e^{x-3}} = e^{\frac{1}{2}(x-3)}$
$\sqrt[3]{e^x} = e^{\frac{1}{3}x}$	$\sqrt[3]{e^{2+2x}} = e^{\frac{1}{3}(2+2x)}$

📌 À retenir Ces règles sont exactement les mêmes que celles des puissances usuelles ( $a^{m+n} = a^m \times a^n$ , etc.), sauf que la base est toujours $e$ .

Propriétés algébriques

Soient

a

b

x \in \mathbb{R}

r \in \mathbb{Q}

. On a :

Propriété	Exemple
$e^{a+b} = e^a \times e^b$	$e^7 = e^4 \times e^3$
$e^{-b} = \dfrac{1}{e^b}$	$e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$
$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$	$e^5 = \dfrac{e^7}{e^2}$
$\left(e^x\right)^r = e^{rx}, \; (r \in \mathbb{Q})$	$\left(e^x\right)^3 = e^{3x}$
$\sqrt{e^x} = e^{\frac{1}{2}x}$	$\sqrt{e^{x-3}} = e^{\frac{1}{2}(x-3)}$
$\sqrt[3]{e^x} = e^{\frac{1}{3}x}$	$\sqrt[3]{e^{2+2x}} = e^{\frac{1}{3}(2+2x)}$

📌 À retenir Ces règles sont exactement les mêmes que celles des puissances usuelles ( $a^{m+n} = a^m \times a^n$ , etc.), sauf que la base est toujours $e$ .