Le domaine vient uniquement de l’exposant

La fonction $t\mapsto e^t$ accepte tout réel. Ainsi, dans

$$f(x)=e^{u(x)},$$

la seule question est : pour quels $x$ l’expression $u(x)$ existe-t-elle ?

L’exponentielle n’ajoute aucune contrainte, mais elle ne supprime pas celles de $u$.