Théorème : intersection d’une sphère et d’un plan

On calcule d’abord $d(\Omega,(P))$, puis on compare ce nombre à $R$.

Soient une sphere $(S)=S(\Omega,R)$ et un plan $(P)$. On note $H$ le projete orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$ et $\Omega H=d\big(\Omega,(P)\big)$ la distance de $\Omega$ au plan.

• 1er cas : $\Omega H>R$. Alors $(P)\cap(S)=\varnothing$ : le plan et la sphere sont disjoints.

• 2e cas : $\Omega H=R$. Alors $(P)\cap(S)=\{H\}$ : le plan et la sphere sont tangents en $H$, avec $(H\Omega)\perp(P)$.

• 3e cas : $\Omega H<R$. Alors $(P)\cap(S)=(C)$ : le plan coupe la sphere suivant le cercle de centre $H$ et de rayon $r=\sqrt{R^{2}-\Omega H^{2}}$