Preuve du théorème, ligne par ligne

On choisit un point fixe $A$ du plan et un point variable $M$. La soustraction de leurs deux égalités élimine $d$.

On montre que le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ est normal a ce plan $(P)$.

On a : $M(x,y,z)\in(P)\iff ax+by+cz+d=0\qquad(1)$ $A(x_0,y_0,z_0)\in(P)\iff ax_0+by_0+cz_0+d=0\qquad(2)$

La difference $(1)-(2)$ donne :

\iff \begin{pmatrix} x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=0$$ $$\iff \vec{AM}\cdot\vec{n}=0 \iff \vec{AM}\perp\vec{n}$$ **D'ou** $\vec{n}(a,b,c)$ est normal a ce plan.